Question

已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：

方程①: ；方程②: .

（1）若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，并化簡(jiǎn)；

（3）若方程①和②有一個(gè)公共根，求代數(shù)式的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）5

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根可得△，再結(jié)合一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可求得k的值，然后再代入方程②求解即可；

（2）由方程②得△₂= ，再根據(jù)可得，由方程①、②只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根可得，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；

（3）由a是方程①和②的公共根可得，，即可得到，，從而可以求得結(jié)果.

解：（1）∵方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

∴ 

由③得k+2¹0

由④得(k+2)(k+4)=0

∵k+2¹0

∴k=-4

當(dāng)k=-4時(shí)，方程②為: .         

解得；

（2）由方程②得△₂= .

＝-(k + 2) (k+4) =3k²＋6k+5 =3(k+1)²＋2>0.

∴.

∵方程①、②只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根，

∴

∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.

由

得(k+2)(k+4)<0

.

∵(k+2)(k+4)<0

∴；

（3）∵a是方程①和②的公共根

∴，

∴，

=

=

=2+3=5.

考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式，解一元二次方程

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．