Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=4，點P是AB上任意一點，過P作PE⊥BC于E；過E作EF⊥AC于F；過F作FQ⊥AB于Q．設(shè)BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有關(guān)問題．
（1）根據(jù)題意可得，BE=BP，∴BE=，∴EC=
又FC=EC，∴FC=______，∴AF=4-FC=______
又AQ=AF，∴AQ=______，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______
（2）當(dāng)AQ=1.2時，求BP的長度；
（3）當(dāng)BP的長度等于多少時，點P與點Q重合？

Answer 1

解：（1）∵PE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)Q⊥AB，∴∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，
∵AB=4，∴FC=EC，∴FC=2-，∴AF=4-FC=2+，
又AQ=AF，∴AQ=1+，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1+；

（2）當(dāng)AQ=1.2時，即y=1.2時，1.2=1+，解得x=1.6，
∴當(dāng)AQ=1.2時，求BP的長度為1.6；

（3）∵點P與點Q重合，∴x+y=4，∴x+1+=4，解得x=，
∴當(dāng)BP的長度等于時，點P與點Q重合．
分析：（1）正三角形的每一個角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，據(jù)此推出答案．
（2）（3）代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可．
點評：本題是一個綜合題，難度不大，主要考查在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．