Question

9．計算：$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$…$\sqrt{1+\frac{1}{201{0}^{2}}+\frac{1}{201{1}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先分別求出被開方數(shù)的值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)開方，找出規(guī)律，最后根據(jù)規(guī)律求出即可．

解答 解：原式=$\sqrt{\frac{9}{4}}$+$\sqrt{\frac{49}{36}}$+$\sqrt{\frac{169}{144}}$+…+$\sqrt{\frac{201{0}^{2}×201{1}^{2}+201{1}^{2}+201{0}^{2}}{201{0}^{2}×201{1}^{2}}}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{201{0}^{2}+2010+1}{2010×（2010+1）}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+1+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$
=2010+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）
=2010+1-$\frac{1}{2011}$
=2010$\frac{2010}{2011}$．

點評 本題考查了二次根式的性質(zhì)的應用，能根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關鍵．