Question

【題目】九年級(3)班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關信息如下．已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y(單位：元/件)，每天的銷售量為p(單位：件)，每天的銷售利潤為w(單位：元).

時間x(天)	1	30	60	90
每天的銷 售量p(件)	198	140	80	20

(1)求出w與x之間的函數(shù)表達式；

(2)銷售該商品在第幾天時，當天獲得的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）當x＝45時，w最大，最大值為6050；（3）共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.

【解析】

（1）當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出此時y關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)圖形可得出當50<x≤90時，y=90．再結(jié)合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關于x的函數(shù)關系式；

（2）根據(jù)w關于x的函數(shù)關系式，分段考慮其最值問題．當0≤x≤50時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當50<x≤90時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論；

（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．

(1)當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x之間的函數(shù)表達式為y＝kx＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．

∵直線y＝kx＋b經(jīng)過點(0，40)，(50，90)，

∴解得

∴售價y與時間x之間的函數(shù)表達式為y＝x＋40.

當50＜x≤90時，y＝90.

∴售價y與時間x之間的函數(shù)表達式為

y＝

由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關系．

設每天的銷售量p與時間x之間的函數(shù)表達式為p＝mx＋n(m，n為常數(shù)，且m≠0)．

∵直線p＝mx＋n經(jīng)過點(30，140)，(60，80)，

∴解得

∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x為整數(shù))．

將(1，198)，(90，20)代入p＝－2x＋200均成立．

當0≤x≤50時，w＝(y－30)·p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝－2x2＋180x＋2000；

當50＜x≤90時，w＝(90－30)(－2x＋200)＝－120x＋12000.

綜上所述，每天的銷售利潤w與時間x之間的函數(shù)表達式是

w＝

(2)當0≤x≤50時，w＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050.

∵a＝－2＜0且0≤x≤50，

∴當x＝45時，w取得最大值，最大值為6050.

當50＜x≤90時，w＝－120x＋12000.

∵k＝－120＜0，∴w隨x的增大而減小，

∴w＜6000.

∵6050＞6000，

∴當x＝45時，w最大，最大值為6050.

即銷售該商品在第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

(3)當0≤x≤50時，令w＝－2x2＋180x＋2000≥5600，即－2x2＋180x－3600≥0，

解得30≤x≤50，50－30＋1＝21(天)．

當50＜x≤90時，令w＝－120x＋12000≥5600，即－120x＋6400≥0，

解得50＜x≤53.

∵x為整數(shù)，∴50＜x≤53，53－50＝3(天)，

21＋3＝24(天)，

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．