Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，連接AO并延長交⊙O于C，交PB的延長線于D．
（1）找出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論（不再添加輔助線）；
（2）若PA=2+，∠P=45°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）△OBD∽△PAD．
證明：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBD=90°．
又∵∠D=∠D，
∴△OBD∽△PAD；

（2）∵∠P=45°，
∴∠DOB=45°，
∴△OBD、△PAD均是等腰直角三角形，
從而PD=PA，BD=OB，
又∵PA=2+，PA=PB，
∴BD=OB=PD-PB=PA-PA=（-1）PA=（-1）（2+）=，
故S_陰影=S_△OBD-S_扇形===．
分析：（1）利用兩組角對應相等可證△OBD∽△PAD；
（2）首先理清S_陰影=S_△OBD-S_扇形，然后根據(jù)面積公式計算即可．
點評：（1）此題主要考查了相似三角形的判定；
（2）做本題的關鍵是理清S_陰影=S_△OBD-S_扇形這一關系，然后再根據(jù)面積公式計算即可．