Question

3．如圖，AD平分∠BAC，與BC的垂直平分線交于點D，DF⊥AC于F．求證：AB+AC=2AF．

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線求出BE=CE，根據(jù)角平分線性質求出EF=GE，證出Rt△BFE≌Rt△CGE，再判斷出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可．

解答 證明：
連接DB和CD，過點D作DG⊥AB，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BGD=∠DGC=90°，DF=DG，
在Rt△BDG和Rt△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DG=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG=CF；
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴∠AFD=∠AGD=90°，∠FAD=∠GAD，
在△AFD和△AGD中$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠FAD}\\{∠AGD=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AFD≌△AGD，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF-BF+AG+CG=AF+AF=2AF，
∴AB+AC=2AF．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質，線段垂直平分線性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目比較典型，難度適中．