Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D恰好落在對角線AC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN，
（1）求證：△ADN≌△CBM；
（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由；
（3）點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，

在Rt△ADN和Rt△CBM中，

∵ ，

∴△ADN≌△CBM

（2）解：連接NE、MF，

∵△ADN≌△CBM，

∴NF=ME，

∵∠NFE=∠MEF，

∴NF∥ME，

∴四邊形MFNE是平行四邊形，

∵MN與EF不垂直，

∴四邊形MFNE不是菱形

（3）解：設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF﹣EF=AC，即6﹣x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

在Rt△CFN中，tan∠NCF= ，

解得NF= ，

∵OE=OF= EF= ，

∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，

∴ON= ，

∴MN=2ON= ，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，

∴四邊形MQPN是平行四邊形，

∴MN=PQ= ，

∵PQ=CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∴PG=CG，

在Rt△QPG中，

PG2=PQ2﹣QG2，即PG= =1，

∴PC=2PG=2．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．（2）連接NE、MF，根據(jù)（1）的結(jié)論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE為斜邊，NF為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．（3）設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，首先求出AC=5，根據(jù)翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE﹣EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCFCF，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2 ， 求出NO的長，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2 ．
【考點精析】關(guān)于本題考查的平行四邊形的判定和菱形的判定方法，需要了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．