Question

（2000•西城區(qū)）已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖）．求證：PA•PB=PE•PF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）解決此問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)平行和圓的切線性質(zhì)證明△PFA∽△PBE．（2）成立，方法同上．（3）本題主要是通過(guò)銳角三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的．
解答：（1）證明：∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA•PB=PE•PF；

（2）解：當(dāng)P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論仍成立（如圖）
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA=∠C，
∠PFA=∠PBE，
又∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴，
∴PA•PB=PE•PF；

（3）解法一：作直徑AH，連接BH
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=，
∴cos∠AHB=，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB為銳角，
∴sin∠AHB=．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=，AB=4，
∴AH==6，
∴⊙O半徑為3；

解法二：作直徑BH，連接AH（如圖）．
∴∠BAH=90°，
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBH=90°，
∵cos∠EBA=，
∴sin∠ABH==，
設(shè)AH=x，則BH=3x，
在Rt△ABH中，AB=4，
由勾股定理，AB²+AH²=BH²，
∴（4）²+x²=（3x）²
解得x₁=2，x₂=-2（負(fù)值舍去）
∴BH=6，
∴⊙O半徑為3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查圓的切線性質(zhì)，相似三角形的判定定理及解直角三角形．是一道綜合題，解題思路清晰，方法獨(dú)特，容易理解．