Question

已知一元二次方程的一根為2．

（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；

（2）求證：拋物線與x軸總有交點(diǎn)。

（3）當(dāng)p=－1時(shí)，（2）中的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A在B的左側(cè)，若P點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)=4時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）q=-2p-5；（2）證明見(jiàn)解析；（3）p1（1-，3-），p2（1+，3+）．

【解析】

試題分析：1）將2代替一元二次方程x2+px+q+1=0中的x即可得到pq之間的關(guān)系式；

（2）證明拋物線與x軸總有交點(diǎn)即可證明其根的判別式中大于零即可；

（3）利用p=-1求得拋物線的解析式，利用圍成的三角形的面積求得P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）【解析】
∵方程的根為2，

∴4+2p+q+1=0，

∴q=-2p-5；

（2）證明：△=p2-4（q+1），

=p2-4（-2p-5+1），

=p2+8p+16，

=（p+4）2，

∵（p+4）2≥0，

∴△≥0，

∴拋物線y=x2+px+q+1與x軸總有交點(diǎn)；

（3）【解析】
當(dāng)p=-1時(shí)，q=-2×（-1）-5=-3，

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-2．

∵B（2，0）C（0，-2），

∴BC=2，∠OBC=45°．

∵S△PBC=4．

∴ BC•hBC=4．

∴hBC=2．

過(guò)B點(diǎn)作BD⊥BC交y軸于點(diǎn)D，

∴DO=BO=CO，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，2），

∴BD=2，

過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC交x軸于點(diǎn)E，

∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90°，

∴∠EDO=45°，

∴E（-2，0），

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

∴解得，

∴直線DE的解析式為y=x+2．

設(shè)直線DE與拋物線的交點(diǎn)P（x，y），

∴ ，

∴， ，

∴p1（1-，3-），p2（1+，3+）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．