Question

①設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，試證明：a＜

1

2

（a+b+c）

②設(shè)四邊形的四邊長依次為a、b、c、d，兩條對角線分別為e、f，證明：e+f＞

1

2

（a+b+c+d）

Answer 1

分析：①根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知b+c＞a，再根據(jù)不等式的性質(zhì)b+c+a＞a+a，即可證明a＜

1

2

（a+b+c）；
②根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得n+x＞a，x+m＞b，y+m＞c，n+y＞d，再根據(jù)不等式的性質(zhì)可得2（x+y+m+n）＞a+b+c+d，從而證明e+f＞

1

2

（a+b+c+d）．

解答：解：①證明：∵b+c＞a，
∴

1

2

b+

1

2

c＞

1

2

a，
∴

1

2

b+

1

2

c+

1

2

a＞

1

2

a+

1

2

a，
∴

1

2

（a+b+c）＞a，即a＜

1

2

（a+b+c）；

②證明：顯然n+x＞a，x+m＞b，y+m＞c，n+y＞d，
所以：2（x+y+m+n）＞a+b+c+d，
即：2（e+f）＞a+b+c+d，
所以：e+f＞

1

2

（a+b+c+d）．

點評：本題綜合考查了三角形三邊關(guān)系和不等式的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．