Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

(1)求證：AB＝BC；

(2)當(dāng)BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：連接AC． 　　∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2． 　　∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2． 　　∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， 　　∴AB＝BC． 　　(2)證明：過C作CF⊥BE于F． 　　∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD＝EF． 　　∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， 　　∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF．∴AE＝BF． 　　∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD． 　　思路分析：(1)題目中存在直角，垂直，含線段平方的等式，因此考慮連接AC，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證明；(2)可采用“截長”法證明，過點C作CF⊥BE于F，易證CD＝EF，只需再證明AE＝BF即可，這一點又可通過全等三角形獲證． 　　方法規(guī)律：此題主要考查推理證明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知識．靈活添加輔助線，構(gòu)造所需圖形是證明關(guān)鍵所在．