Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C在x的正半軸上，且OC＞1，連接BC，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△CBD．
（1）求證：△OBC≌△ABD；
（2）當(dāng)點(diǎn)C沿x軸向右移動時，直線DA交y軸于點(diǎn)P，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由等邊△AOB，等邊△CBD得OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，所以，∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，從而△OBC≌△ABD．
（2）由（1）得∠BAD=∠BOC=60°，可推出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，OA=1，則求出OP，從而求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：（1）證明：已知等邊△AOB，等邊△CBD，∴∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
∴OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD．

（2）解：由（1）可知∠BAD=∠BOC=60°，
∵∠OAP+∠OAB+∠BAD=180°，∴∠OAP=60°．
在△OAP中，∠AOP=90°，tan∠OAP=

OP

OA

，
∴OP=OA•tan60°=

3

．（7分）
∴當(dāng)點(diǎn)C沿x軸向右移動時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

3

）．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是兩等邊三角形證明三角形全等，及推出∠OAP=60°通過解直角三角形求P的坐標(biāo)．