Question

5．如圖，已知△ABC中，∠A=60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，P為BE，CD的交點，求證：BD+CE=BC．

Answer 1

分析 首先結(jié)合角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠DPB=∠EPC=60°，∠BPC=120°，再證明△DBP≌△FBP（SAS），進(jìn)而得出△CEP≌△CFP（ASA），求出EC=FC，進(jìn)而得出答案．

解答 證明：截取BF=BD，
∵∠A=60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠DPB=∠EPC=60°，∠BPC=120°，
在△DBP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BF}\\{∠DBP=∠FBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△FBP（SAS），
∴∠DPB=∠BPF=60°，
∴∠CPF=60°，
在△CEP和△CFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEP=∠FCP}\\{PC=CP}\\{∠EPC=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△CEP≌△CFP（ASA），
∴FC=EC，
∴BD+EC=BF+FC，
∴BD+CE=BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CEP≌△CFP是解題的關(guān)鍵．