Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD（點A轉(zhuǎn)到點C的位置），拋物線=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過C、D、B三點．注：拋物線的頂點坐標為
（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，△PAB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意C（-2，0），D（0，4），設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+4，代入得到方程組

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，求出方程組的解即可；
（2）由（1）得P（1，

9

2

），連接PA、PB過點P作PE⊥Y軸于點E，根據(jù)S_△PAB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB即可求出答案；
（3）設(shè)存在點M，其坐標為M（x，y），則

1

2

|y|×6=6得出y=±2，代入解析式即可求出x，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意C（-2，0），D（0，4），
則可設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+4，
依題意

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，
∴

a=- 1 2 b=1

，
∴y=-

1

2

x²+x+4，
答：拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+x+4．

（2）由（1）得P（1，

9

2

），
連接PA、PB過點P作PE⊥Y軸于點E
則S_△PAB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB=6，
答：△PAB的面積是6．

（3）設(shè)存在點M，其坐標為M（x，y），則

1

2

|y|×6=6，
∴y=±2，
當y=2時，-

1

2

x²+x+4=2，解得：x=1±

5

，
當y=-2時，-

1

2

x²+x+4=-2，解得：x=1±

13

，
∴存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，其坐標為：
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．
答：在拋物線上存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，點M的坐標是
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．

點評：本題主要考查對解一元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．