Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．

解答 解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)，
∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最�。�
∵$\frac{1}{2}$AP×BC=$\frac{1}{2}$AB×AC，
∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8，
∴AP=$\frac{24}{5}$
∴AM=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出AP的最小值是關(guān)鍵．