Question

如圖，點A的坐標為（-1，0），點B在直線y=2x-4上運動．
（1）若點B的坐標是（1，-2），把直線AB向上平移m個單位后，與直線y=2x-4的交點在第一象限，求m的取值范圍；
（2）當線段AB最短時，求點B的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A、點B的坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x-1，再根據(jù)平移的規(guī)律得出把直線AB向上平移m個單位后的解析式y(tǒng)=-x+m-1，然后解方程組

y=-x+m-1 y=2x-4

，求出交點坐標為（

m+3

3

，

2m-6

3

），然后根據(jù)第一象限內點的坐標特征列出不等式組

m+3 3 ＞0 2m-6 3 ＞0

，解不等式組即可；
（2）根據(jù)垂線段最短可知，AB最短時有AB⊥CD，由互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，可設此時直線AB的解析式為y=-

1

2

x+n，將A（-1，0）代入，求出直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

．再解方程組

y=- 1 2 x- 1 2 y=2x-4

，即可求出B點坐標．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b．
∵點A的坐標為（-1，0），點B的坐標是（1，-2），
∴

-k+b=0 k+b=-2

，
解得

k=-1 b=-1

，
∴直線AB的解析式為y=-x-1，
把直線AB向上平移m個單位后得y=-x+m-1．
由

y=-x+m-1 y=2x-4

，解得

x= m+3 3 y= 2m-6 3

，
即交點為（

m+3

3

，

2m-6

3

）．
由題意，得

m+3 3 ＞0 2m-6 3 ＞0

，
解得m＞3；

（2）AB最短時有AB⊥CD，設此時直線AB的解析式為y=-

1

2

x+n，
將A（-1，0）代入，得0=-

1

2

×（-1）+n，
解得n=-

1

2

．
即直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

．
由

y=- 1 2 x- 1 2 y=2x-4

，解得

x= 7 5 y=- 6 5

，
所以B點坐標為（

7

5

，-

6

5

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，運用待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩函數(shù)交點坐標的求法，直線平移的規(guī)律等知識，綜合性較強，難度適中．