Question

16．如圖，△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，M是DB中點(diǎn)，求證：CM⊥AE．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)DC至F，使CF=CD，連接BF，延長(zhǎng)AE交BF于N，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，得出∠ECF=∠ACB，CE=CF，延長(zhǎng)∠1=∠2，由SAS證明△ACE≌△BCF，得出∠3=∠4，由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理求出∠ANB=∠ACB=90°，得出AN⊥BF，證出CM是△BDF的中位線，得出CM∥BF，即可得出結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)DC至F，使CF=CD，連接BF，延長(zhǎng)AE交BF于N，如圖所示：
∵△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECF=90°=∠ACB，CE=CF，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{CE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠6，
∴∠ANB=∠ACB=90°，
∴AN⊥BF，
∵M(jìn)是DB中點(diǎn)，CF=CD，
∴CM是△BDF的中位線，
∴CM∥BF，
∴CM⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．