【題目】定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,
①若AB=CD=1,AB//CD,求對(duì)角線BD的長(zhǎng).
②若AC⊥BD,求證:AD=CD.
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且BP=2PD,過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:①因?yàn)锳B=CD=1,AB//CD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

又因?yàn)锳B=BC,

所以ABCD是菱形.

又因?yàn)椤螦BC=90度,

所以菱形ABCD是正方形.

所以BD= .

②如圖1,連結(jié)AC,BD,

因?yàn)锳B=BC,AC⊥BD,

所以∠ABD=∠CBD,

又因?yàn)锽D=BD,

所以△ABD△CBD,

所以AD=CD.


(2)

解:若EF與BC垂直,則AE≠EF,BF≠EF,

所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,不符合條件;

若EF與BC不垂直,

①當(dāng)AE=AB時(shí),如圖2,

此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以AE=AB=5.

②當(dāng)BF=AB時(shí),如圖3,

此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以BF=AB=5,

因?yàn)镈E//BF,

所以△PED~△PFB,

所以DE:BF=PD:PB=1:2,

所以AE=9-2.5=6.5.

綜上所述,AE的長(zhǎng)為5或6.5.


【解析】(1)①由AB=CD=1,AB//CD,根據(jù)“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形ABCD是平行四邊形.由鄰邊相等AB=BC,有一直角∠ABC=90度,所以菱形ABCD是正方形.則BD= ;②連結(jié)AC,BD,由AB=BC,AC⊥BD,可知四邊形ABCD是一個(gè)箏形,則只要證明△ABD△CBD,即可得到AD=CD.(2)分類(lèi)討論:若EF與BC垂直,明示有AE≠EF,BF≠EF,即EF與兩條鄰邊不相等;由∠A=∠ABC=90°,可分類(lèi)討論AB=AE時(shí),AB=BF時(shí)去解答.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識(shí),掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn) 不與 重合時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖3,延長(zhǎng) 于點(diǎn) ,若 ,且 .當(dāng) , 時(shí),求 的長(zhǎng).

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(1)如圖1,當(dāng)t=3時(shí),求DF的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中,∠DEF的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不變,請(qǐng)求出tan∠DEF的值;
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