Question

7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，3），B（1，0），點C在第一象限，⊙D經(jīng)過點A、B、C三點，AC是⊙O的直徑，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D、C兩點，則k的值是4．

Answer 1

分析 過點C作CH⊥x軸于H，連接AB、BC，易證△AOB∽△BHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BH=3HC．設(shè)CH=n，從而可用n的代數(shù)式表示點C的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到點D的坐標(biāo)（用n的代數(shù)式表示），然后只需根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征就可解決問題．

解答 解：過點C作CH⊥x軸于H，連接AB、BC，如圖所示．

∵AC是⊙D的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH．
∵∠AOB=∠BHC=90°，
∴△AOB∽△BHC，
∴$\frac{AO}{BH}$=$\frac{OB}{HC}$．
∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
∴$\frac{3}{BH}$=$\frac{1}{HC}$，
∴BH=3HC．
設(shè)CH=n，則BH=3n，OH=3n+1，
∴點C的坐標(biāo)為（3n+1，n）．
∵點D是線段AC的中點，
∴點D的坐標(biāo)為（$\frac{0+3n+1}{2}$，$\frac{3+n}{2}$）即（$\frac{3n+1}{2}$，$\frac{n+3}{2}$）．
∵點D、點C都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=$\frac{3n+1}{2}$•$\frac{n+3}{2}$=n（3n+1）．
∵點C在第一象限，
∴3n+1＞0，n＞0，
∴n=1，k=4．
故答案為4．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、線段的中點坐標(biāo)公式等知識，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上兩點縱橫坐標(biāo)的乘積相等建立等量關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．