Question

已知直線(xiàn)y=3x-3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線(xiàn)y=ax²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）記該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②將此拋物線(xiàn)向右平移，平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，其對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)y=3x-3交于點(diǎn)E，若tan∠DPE=，求四邊形BDEP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線(xiàn)y=3x-3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入
拋物線(xiàn)y=ax²+2x+c即可得出a、c的值，進(jìn)而得出拋物線(xiàn)的解析式，故可得出其對(duì)稱(chēng)軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①由于B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，故C（-2，-3），BC∥x軸，點(diǎn)D在y軸的正半軸所以AD不能平行于BC，故AB∥CD，設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=3x+b，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出直線(xiàn)CD的解析式，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
②作DF⊥PE于F，則PF=7，在Rt△DFP中，tan∠DPE===可得出DF的長(zhǎng)，再把x的值代入直線(xiàn)AB即可得出y的值，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，由梯形的面積公式即可求出四邊形BDEP的面積．
解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=3x-3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，
∴A（1，0），B（0，-3），
∵拋物線(xiàn)y=ax²+2x+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，-3）
∴解得…（1分）
∴y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；

（2）①∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，
∴C（-2，-3），BC∥x軸
∴AB∥CD，設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=3x+b，
∵C（-2，-3），
∴-6+b=-3，
∴b=3，
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=3x+3
∴D（0，3），
②作DF⊥PE于F，則PF=7，
在Rt△DFP中，tan∠DPE===，
∴DF=3，
∴P（3，-4），即EP的方程為x=3，
∵點(diǎn)E在直線(xiàn)y=3x-3上，
∴y=3×3-3=6，
∴點(diǎn)E（3，6），
∴S_{四邊形BDEP}=（BD+EP）•DF=（6+10）×3=24．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．