Question

7．尺規(guī)作圖：已知△ABC，如圖．
（1）求作：△ABC的內切圓⊙O；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若∠C=90°，CA=3，CB=4，則△ABC的內切圓⊙O的半徑為1．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC和∠ACB的平分線，它們相交于點O，過點O作OD⊥BC于D，然后以點O為圓心，OD為半徑作⊙O即可；
（2）先利用勾股定理計算出AB=5，作OF⊥AC于F，OE⊥AB于E，如圖，設⊙O的半徑為r，根據三角形內心的性質和切線長定理得到OD=OE=OF=r，BD=BE，AE=AF，則四邊形ODCF為正方形，則CD=CF=r，BD=BE=4-r，AF=AE=3-r，所以4-r+3-r=5，然后解方程即可．

解答 解：（1）如圖，⊙O為所作；

（2）作OF⊥AC于F，OE⊥AB于E，如圖，設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴OD=OE=OF=r，BD=BE，AE=AF，
∴四邊形ODCF為正方形，
∴CD=CF=r，BD=BE=4-r，AF=AE=3-r，
而BE+AE=AB，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
即⊙O的半徑為1．
故答案為1．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．頁考查了圓的內切圓的性質．