Question

如圖，頂點(diǎn)為P（4，－4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），點(diǎn)A在該圖象上，

OA交其對稱軸于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，連接AN、ON

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式.

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，－3），求△ANO的面積.

（3）當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，請解答下列問題：

①證明：∠ANM=∠ONM

②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）12（3）①證明見解析②不能，理由見解析

【解析】解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P（4，－4），∴設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為。

                  又∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），∴，解得。

                  ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為，即。

            （2）設(shè)直線OA的解析式為，將A（6，－3）代入得，解得。

                 ∴直線OA的解析式為。

  把代入得。∴M（4，－2）。

又∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，∴N（4，－6），MN=4。

∴。

            （3）①證明：過點(diǎn)A作AH⊥于點(diǎn)H，，與x軸交于點(diǎn)D。則

 

 

                 設(shè)A（）,

則直線OA的解析式為。

則M（），N（），H（）。

∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

∴。

∴�！唷螦NM=∠ONM。

②不能。理由如下：分三種情況討論：

情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45⁰，

∴△AHN是等腰直角三角形�！郒A=NH，即。

整理，得，解得。

∴此時，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角。

情況2，若∠AON是直角，則。

∵ ，

∴。

整理，得，解得，。

∴此時，故點(diǎn)A與原點(diǎn)或與點(diǎn)P重合。故此時不存在點(diǎn)A，使∠AON是直角。

情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

∵OD=4，MD=，ND=，∴。

整理，得，解得。

∴此時，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角。

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，△ANO不能成為直角三角形。

（1）由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P（4，－4）和經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式關(guān)系式，用待定系數(shù)法即可求。

       （2）求出直線OA的解析式，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性點(diǎn)N坐標(biāo)，從而求得MN的長，從而求得△ANO的面積。

       （3）①根據(jù)正切函數(shù)定義，分別求出∠ANM和∠ONM即可證明。

            ②分∠ONA是直角，∠AON是直角，∠NAO是直角三種情況討論即可得出結(jié)論。