Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B，D重合），GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連結AG．

（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數量關系，并說明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）

【解析】

試題分析：（1）結論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據BG=BN÷cos30°即可解決問題.

試題解析：（1）結論：AG2=GE2+GF2．

理由：連接CG．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴A、C關于對角線BD對稱，

∵點G在BD上，

∴GA=GC，

∵GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，

∴四邊形EGFC是矩形，

∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，

∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設AN=x．

∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，

∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，

∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x，MN=x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+x）2，

解得x=，

∴BN=，

∴BG=BN÷cos30°=．