Question

一條拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（0，3）與（4，3）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線y=x²+mx+n，使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切．（要說明平移方法）

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)（0，3）與（4，3），所以可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），分當(dāng)⊙P與y軸相切及與y軸相切兩種情況討論，分別求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）中求出的P點(diǎn)坐標(biāo)可知它們橫縱坐標(biāo)的絕對值均不相同，故⊙P不能與兩坐標(biāo)軸都相切．設(shè)出平移后的拋物線解析式，再根據(jù)圓與直線相切的特點(diǎn)列出方程即可求出未知數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線過（0，3）（4，3）兩點(diǎn)，
∴

n=3 42+4m+n=3

（1分）
解得

m=-4 n=3

（2分）
∴拋物線的解析式是y=x²-4x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．（3分）

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，有|x₀|=1，
∴x₀=±1．（5分）
由x₀=1，得y₀=1²-4+3=0；
由x₀=-1，得y₀=（-1）²-4（-1）+3=8．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（1，0），P₂（-1，8）．（6分）
當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，有|y₀|=1，
∴y₀=±1．（7分）
由y₀=1，得x₀²-4x₀+3=1，解得x0=2±

2

；
由y₀=-1，得x₀²-4x₀+3=-1，解得x₀=2．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1），P₅（2，-1）．（9分）
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)為：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1），P₅（2，-1）．
注：不寫最后一步不扣分．

（3）由（2）知，不能．（10分）
設(shè)拋物線y=x²-4x+3上下平移后的解析式為y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切，則|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=-1；或x₀=1，y₀=-1；或x₀=-1，y₀=1．（11分）
取x₀=y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1．
取x₀=-1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-9．
取x₀=1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-1．
取x₀=-1，y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-7．
∴將y=x²-4x+3向上平移1個(gè)單位，或向下平移9個(gè)單位，或向下平移1個(gè)單位，或向下平移7個(gè)單位，就可使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切．（12分）

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及圓的相關(guān)性質(zhì)，比較復(fù)雜，是一道難度適中的題目．