Question

如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AC、AB的中點，BD與CE交于點O．點F、G分別是線段BO、CO的中點．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如圖2，若AO=BC，求證：四邊形DEFG是菱形；
（3）若AB=AC，且AO=BC=6，直接寫出四邊形DEFG的面積．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）由中位線定理，可得ED∥BC，F(xiàn)G∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題便可解答；
（2）根據(jù)三角形中位線定理推知平行四邊形DEFG的鄰邊相等（EF=FG）即可證得結(jié)論；
（3）如圖2，AO∥EF∥DG；若△ABC為等腰三角形時，則OA和BC垂直，進而求出即可．

解答：證明：（1）如圖1點D、E分別是邊AC、AB的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴ED∥BC，且ED=

1

2

BC．
同理，F(xiàn)G是△OBC的中位線，
∴FG∥BC且FG=

1

2

BC，
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）∵點E、F分別是AB、OB的中點，
∴EF是△ABO的中位線，
∴EF=

1

2

OA．
由（1）知，F(xiàn)G=

1

2

BC．
∵OA=BC，
∴EF=FG．
又由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形，
∴?DEFG是菱形；

（3）如圖2，∵E、F、G、D分別是AB、BO、CO、AC中點，
∴AO∥EF∥DG，
∴當(dāng)AB=AC時，
∴AO⊥BC，
∵四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF⊥FG；
∴此時四邊形DEFG是矩形．
∴S_{四邊形DEFG}=FG•EF=

1

2

×6×

1

2

×6=9．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．