Question

如圖所示，菱形ABCD中，∠A=120°，⊙O為△ABC外接圓，M為其上一點(diǎn)，連接MC交AB于E，AM交CB延長線于F．求證：D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

Answer 1

證明：如圖，連AC，DF，DE．
因?yàn)镸在⊙O上，
則∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，
有△AMC∽△ACF，得．
又因?yàn)椤螦MC=∠BAC，所以△AMC∽△EAC，得．
所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE．
所以∠ADE=∠DFB．因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，
于是F，E，D三點(diǎn)共線．
分析：連AC，DF，DE．∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，判定△AMC∽△ACF，利用對應(yīng)邊成比例再判定∠AMC=∠BAC，△AMC∽△EAC，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE，∠ADE=∠DFB．因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，即可證明．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)的理解和掌握，解題的關(guān)鍵是連AC，DF，DE．證明△AMC∽△ACF，△AMC∽△EAC，△CFD∽△ADE，這是此題的關(guān)鍵．