Question

3．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=6，CE=2$\sqrt{2}$，點F在CD上，連接DE，連接BG并延長交CD于點M，交DE于點H．則BH的長度為$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 過E作EN⊥DC，可證得△BCG≌△DCE，從而可得到∠EDC=∠CBM，可證明△BCM∽△DNE∽△DHM，得出M為CD的中點，進一步求得BM和BH，可求得BH的長．

解答 解：過E作EN⊥DC，垂足為N，
∵CE=2$\sqrt{2}$，四邊形CEFG為正方形，
∴FC=4，
∵N為FC的中點，
∴DN=4，
∴EN：DN：DE=1：2：$\sqrt{5}$，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠EDC=∠CBM，
∴△BCM∽△DNE∽△DHM，
∴M為CD的中點，
∴BM=$\sqrt{5}$MC=3$\sqrt{5}$，HM=$\frac{DM}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BH=BM+HM=3$\sqrt{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)證得M為CD的中點，求出BM和HM是解題的關鍵．