Question

16、將長度為2n（n為自然數(shù)，且n≥4）的一根鉛絲折成各邊的長均為整數(shù)的三角形，記（a，b，c）為三邊的長分別為a，b，c，且滿足a≤b≤c的一個三角形．
（1）就n=4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題意的（a，b，c）．
（2）有人根據(jù)（1）中的結(jié)論，便猜想：當鉛絲的長度為2n（n為自然數(shù)，且n≥4）時，對應(yīng)（a，b，c）的個數(shù)一定是n-3，事實上這是一個不正確的猜想．請寫出n=12時所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的個數(shù)．
（3）試將n=12時所有滿足題意的（a，b，c），按照至少兩種不同的標準進行分類．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，可直接寫出符合條件的三角形．
（2）列舉出所有符合條件的三角形，即可解答．
（3）三角形的分類標準有2種，一種是按角來分，一種是按邊來分，據(jù)此解答即可．

解答：解：（1）當n=4時，有（2，3，3）；
當n=5時，有（2，4，4），（3，3，4）；
當n=6時，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．

（2）當n=12時，a+b+c=24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故可得（a，b，c）共12組：
A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F(xiàn)（4，10，10），
G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．

（3）按邊分類：①等腰三角形：A，F(xiàn)，I，J，L；②不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K．
按角分類：①銳角三角形：A，F(xiàn)，G，I，J，K，L；②直角三角形：H；③鈍角三角形：B，C，D，E．

點評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)，難度適中．