Question

（2013•大連一模）如圖1，四邊形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2α，點(diǎn)E、F分別在CB、CD的延長(zhǎng)線上，且EB=AB+AD，∠AEB=∠FAD．
（1）猜想線段AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若將“EB=AB+AD”改為“EB=AB+kAD（k為常數(shù)，且k＞0）”，其他條件不變（如圖2），求

DF

AB

的值（用含k、α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）首先在EB上取點(diǎn)G，使得GB=AB，連接AG，易證得∠EGA=∠ADF，由EB=AB+AD，可證得BG=AD，繼而由ASA證得△AEG≌△FAD，則可得AE=AF；
（2）首先在EB上取點(diǎn)G，使得GB=AB，連接AG，易證得△AEG∽△FAD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得

AG

DF

=

EG

AD

，再作BH⊥AG于點(diǎn)H，即可求得

DF

AB

的值．

解答：解：（1）猜想：AE=AF．
證明：在EB上取點(diǎn)G，使得GB=AB，連接AG，
∵∠ABC=2∠ADC=2α，
∴∠AGB=∠GAB=

1

2

∠ABC=α，
∴∠EGA=180°-α=180°-∠ADC=∠ADF，
∵EB=AB+AD，
∴EG=AD，
在△AEG和△FAD中，

∠AEB=∠FAD EG=AD ∠EGA=∠ADF

，
∴△AEG≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；

（2）在EB上取點(diǎn)G，使得GB=AB，連接AG，
同理可得∠EGA=∠ADF，
∵∠AEG=∠FAD，
∴△AEG∽△FAD，
∴

AG

DF

=

EG

AD

，
∵EB=AB+kAD，
作BH⊥AG于點(diǎn)H，
∴AH=AB•cosα，
即

kDF

2

=AB•cosα，
∴

DF

AB

=

2cosα

k

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．