Question

14、已知：n是正整數(shù)，a₁，a₂，…，a_n是整數(shù)，且a₁•a₂•…•a_n=n（1），a₁+a₂+…+a_n=0（2）．
（Ⅰ）例如n=8，a₁=2，a₂=4，a₃=a₄=…=a₈=-1時(shí)，它們滿足條件（1）（2），
當(dāng)n=12，16，4k時(shí)，請(qǐng)分別寫出12、16、4k個(gè)整數(shù)，使它們滿足條件（1）（2）；
（Ⅱ）小王同學(xué)在探究中發(fā)現(xiàn)：a₁，a₂，…，a_n這n個(gè)數(shù)中，偶數(shù)至少有2個(gè)．你認(rèn)為小王發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）答案不唯一，只要寫出的數(shù)值同時(shí)滿足兩個(gè)條件即可；
（2）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a₁+a₂++a_n=0是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，不可能為0，所以n必為偶數(shù)，若a₁，a₂，，a_n中只有一個(gè)偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)，可以得出矛盾，而有兩個(gè)偶數(shù)時(shí)可以，即可證明．

解答：解：（1）答案不唯一，如
n=12時(shí)，2，-6，7個(gè)1，3個(gè)-1；
n=16時(shí)，-2，-8，12個(gè)1，2個(gè)-1．
n=4k時(shí)，2，-2k，（3k-2）個(gè)1，k個(gè)-1，其中k為奇數(shù)
或-2，-2k，3k個(gè)1，（k-2）個(gè)-1，其中k為偶數(shù)各；（2分）

（2）a₁•a₂••a_n=n，（1）a₁+a₂++a_n=0．（2）
如果n是奇數(shù)，那么由（1）可知a₁，a₂，，a_n都為整數(shù)，
于是a₁+a₂++a_n=0是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，
不可能為0，所以n必為偶數(shù)，
從而a₁，a₂，，a_n中至少有一個(gè)是偶數(shù)；
又若a₁，a₂，，a_n中只有一個(gè)偶數(shù)，
不妨設(shè)為a₁，a₂，，a_n，則a₁+a₂++a_n=0是奇數(shù)（n-1）個(gè)奇數(shù)的和，
故必有奇數(shù)，從而a₁+a₂++a_n=0是奇數(shù)，與（2）矛盾．
故a₁，a₂，，a_n中至少有兩個(gè)偶數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和不可能是0，而奇數(shù)與偶數(shù)的和一定是奇數(shù)．