Question

將一條長為24cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．
（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于20cm²，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于15cm²嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何圖形問題

分析：（1）這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形．其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為

24-4x

4

=（6-x）cm，根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于20cm²”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，可得二次函數(shù)y=x²+（6-x）²=2（x-3）²+18，利用二次函數(shù)的最值的求法可求得y的最小值是18，所以可判斷兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于15cm²．

解答：解：（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為（6-x）cm，
依題意列方程得x²+（6-x）²=20，
整理得：x²-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
解方程得x₁=2，x₂=4，
2×4=8cm，24-8=16cm；
或4×4=16cm，24-16=8cm．
因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是8cm、16cm；

（2）兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于15cm²．
理由：
設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，則
y=x²+（6-x）²=2（x-3）²+18，
∵a=2＞0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y的最小值=18＞12，
∴兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于15cm²；

另解：由（1）可知x²+（6-x）²=15，
化簡后得2x²-12x+21=0，
∵△=（-12）²-4×2×21=-24＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)解；
故兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于15cm²．

點(diǎn)評：考查了一元二次方程的應(yīng)用，此題等量關(guān)系是：兩個(gè)正方形的面積之和=20或15．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解題的關(guān)鍵．