Question

4．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且BD=$\frac{1}{2}$CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，∠EDF=120°．若BE=2CF，且四邊形AEDF的面積為$\frac{37\sqrt{3}}{4}$，則EF的長(zhǎng)為$\frac{7\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 作EG∥AC交BC于G，F(xiàn)H∥AB交BC于H，易得△BEG，△CFH為等邊三角形，利用相似三角形的判定可得△DEG∽△FDH，由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{GD}{HF}=\frac{GE}{HD}$，設(shè)AF=3x，CF=3y，可得AB、BD、CF，易得x、y的關(guān)系，再由S_{四邊形AEDF}=S_△ABC-S_△BDE-S_△CDF易得y²，再根據(jù)勾股定理求出EF．

解答 解：作EG∥AC交BC于G，F(xiàn)H∥AB交BC于H，EM⊥AC于M，
則△BEG，△CFH為等邊三角形，
∴∠DGE=120°，∠DHF=120°，
∴∠DGE=∠FHD，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDG+∠FDH=60°，
∵∠EDG+∠DEG=60°，
∴DEG=∠FDH，
∴△DEG∽△FDH，
∴$\frac{GD}{HF}=\frac{GE}{HD}$，
設(shè)AF=3x，CF=3y，
則AB=AC=BC=3x+3y，
∵BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴BD=x+y，CF=6y，
∴GD=BD-BG=x+y-6y=x-5y，
HD=CD-CH=2x+2y-3y=2x-y，
∴$\frac{x-5y}{3y}=\frac{6y}{2x-y}$，
x=6.5y，
∵S_{四邊形AEDF}=S_△ABC-S_△BDE-S_△CDF
=S_△ABC-$\frac{1}{2}$•BD•EB•sin60°-$\frac{1}{2}$•CD•CF•sin60°
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×[（3x+3y）²-6y（x+y）-3y（2x+2y）]
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x+y）（3x-y）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{15}{2}y×\frac{37}{2}y$=$\frac{37\sqrt{3}}{4}$
∴y²=$\frac{4}{45}$，
∵EF²=EM²+FM²，EM²=AE²-AM²，
∴EF²=AE²-AM²+MF²
∴EF²=（3x-3Y）²-（$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y$）²+（$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$y）²
=9×$\frac{147}{4}$y²
=9×$\frac{147}{45}$
=$\frac{147}{5}$，
∴EF=$\frac{7\sqrt{15}}{5}$，
故答案為：$\frac{7\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形，通過(guò)巧妙設(shè)元利用相似三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)線段之間的關(guān)系，本題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，有一定的代數(shù)化簡(jiǎn)技巧，屬于難題．