Question

11．如圖，一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{a}{x}$的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，m），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點(diǎn)，且cos∠AOE=$\frac{3}{5}$．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求證：S_△AOC=2S_△BOC；
（3）直接寫出當(dāng)y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過解直角三角形求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出反比例函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)△AOC和△BOC的面積計(jì)算公式，即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合兩函數(shù)圖象，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方時x的取值范圍即可．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵cos∠AOE=$\frac{OD}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴OD=3，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴A（3，4），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y₂=$\frac{a}{x}$得，a=12，
∴反比例函數(shù)解析式為${y}_{2}=\frac{12}{x}$；

（2）將點(diǎn)B（-6，m）代入反比例函數(shù)${y}_{2}=\frac{12}{x}$得，m=-2，
∴B（-6，-2），而A（3，4），
∴△AOC的面積=$\frac{1}{2}$×OC×4=2OC，
△BOC的面積=$\frac{1}{2}$×OC×2=OC，
∴S_△AOC=2S_△BOC；

（3）當(dāng)y₁＞y₂時，x的取值范圍為-6＜x＜0或x＞3．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)圖象解不等式．在計(jì)算三角形面積時，若三角形的一邊與坐標(biāo)軸平行或垂直，則一般以該邊為底邊．