Question

（2012•湛江）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發(fā)．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發(fā)，沿AB向終點B以每秒

5

3

個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=3秒時．直接寫出點N的坐標，并求出經(jīng)過O、A、N三點的拋物線的解析式；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標，可得到OA=6、OB=8、AB=10；當t=3時，AN=6，即N是AB的中點，由此得到點N的坐標．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）△MNA中，過N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達式，而AM=OA-OM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于S△MNA、t的函數(shù)關(guān)系式，利用所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△MNA的最大面積．
（3）首先求出N點的坐標，然后表示出AM、MN、AN三邊的長；由于△MNA的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可．

解答：解：（1）由題意，A（6，0）、B（0，8），則OA=6，OB=8，AB=10；
當t=3時，AN=

5

3

t=5=

1

2

AB，即N是線段AB的中點；
∴N（3，4）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x-6），則：
4=3a（3-6），a=-

4

9

；
∴拋物線的解析式：y=-

4

9

x（x-6）=-

4

9

x²+

8

3

x．

（2）過點N作NC⊥OA于C；
由題意，AN=

5

3

t，AM=OA-OM=6-t，NC=NA•sin∠BAO=

5

3

t•

4

5

=

4

3

t；
則：S_△MNA=

1

2

AM•NC=

1

2

×（6-t）×

4

3

t=-

2

3

（t-3）²+6．
∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6．

（3）∵Rt△NCA中，AN=

5

3

t，NC=AN•sin∠BAO=

4

3

t，AC=AN•cos∠BAO=t；
∴OC=OA-AC=6-t，∴N（6-t，

4

3

t）．
∴NM=

(6-t-t)2+( 4 3 t)2

=

52 9 t2-24t+36

；
又：AM=6-t，AN=

5

3

t（0＜t≤6）；
①當MN=AN時，

52 9 t2-24t+36

=

5

3

t，即：t²-8t+12=0，t₁=2，t₂=6（舍去）；
②當MN=MA時，

52 9 t2-24t+36

=6-t，即：

43

9

t²-12t=0，t₁=0（舍去），t₂=

108

43

；
③當AM=AN時，6-t=

5

3

t，即t=

9

4

；
綜上，當t的值取 2或

9

4

或

108

43

 時，△MAN是等腰三角形．

點評：該動點函數(shù)綜合題涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識．應(yīng)注意的是，當?shù)妊�三角形的腰和底不明確時，要分情況進行討論，以免漏解．