【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;

(3)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sinODC的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;(2)y=﹣m2+m,PQ與OQ的比值的最大值為;(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,﹣).

【解析】

1)根據(jù)直線解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得;

(2)過點(diǎn)Py軸的平行線交AB于點(diǎn)E,據(jù)此知PEQ∽△OBQ,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得y=PE,由P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3)得PE=﹣m2+m,結(jié)合y=PE可得函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)性質(zhì)得其最大值;

(3)設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點(diǎn)N,知點(diǎn)MCO的垂直平分線上,連接OM、CM、DM,根據(jù)∠ODC=CMO=OMN、MC=MO=MDsinODC=sinOMN=,當(dāng)MD取最小值時(shí),sinODC最大,據(jù)此進(jìn)一步求解可得.

(1)在y=﹣x+3中,令y=0x=4,令x=0y=3,

∴點(diǎn)A(4,0)、B(0,3),

A(4,0)、B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:

,

解得:,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;

(2)如圖1,過點(diǎn)Py軸的平行線交AB于點(diǎn)E,

PEQ∽△OBQ,

,

=y、OB=3,

y=PE,

P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3),

PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m,

y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+,

0<m<3,

∴當(dāng)m=2時(shí),y最大值=

PQOQ的比值的最大值為;

(3)如圖,由拋物線y=﹣x2+x+3易求C(﹣2,0),對(duì)稱軸為直線x=1,

∵△ODC的外心為點(diǎn)M,

∴點(diǎn)MCO的垂直平分線上,

設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點(diǎn)N,連接OM、CM、DM,

則∠ODC=CMO=OMN、MC=MO=MD,

sinODC=sinOMN=,

MO=MD,

∴當(dāng)MD取最小值時(shí),sinODC最大,

此時(shí)⊙M與直線x=1相切,MD=2,

MN==,

∴點(diǎn)M(﹣1,﹣),

根據(jù)對(duì)稱性,另一點(diǎn)(﹣1,)也符合題意;

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,﹣).

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