Question

9．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點C．
（1）寫出該二次函數(shù)的表達式及點C的坐標；
（2）在線段AC下方的拋物線上是否存在點N，使△ACN與三角形△ABC的面積比為1：2？若存在請求出N的坐標，若不存在請說明理由；
（3）作以AB為直徑的⊙M，交y軸于E點，過點E且與⊙M相切的直線1交x軸于F點．求直線1的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得C點坐標；
（2）根據(jù)面積的和差，可得△ACN，根據(jù)△ACN與三角形△ABC的面積的關系，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得E點坐標，根據(jù)切線與直徑垂直，可得切線的方程．

解答 解：（1）將A、B點的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}×9+3b+c=0}\\{\frac{4}{3}×（-1）-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{10}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x-2；
當x=0時，y=-2，即C點坐標（0，-2）；
（2）如圖1，
AC的解析式為y=kx+b，將A、C點的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-2．
N在拋物線上，D在AC上，設N（m，$\frac{4}{3}$m²-$\frac{10}{3}$m-2），D（m，$\frac{2}{3}$m-2），
DN的長為（$\frac{2}{3}$m-2）-（$\frac{4}{3}$m²-$\frac{10}{3}$m-2）=-$\frac{4}{3}$m²+4m．
S_△ACN=S_△ADN+S_△CDN=$\frac{1}{2}$DN•OE+$\frac{1}{2}$DN•AE=$\frac{1}{2}$DN•AO=$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{4}{3}$m²+4m）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×2=4．
由△ACN與三角形△ABC的面積比為1：2，得
$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{4}{3}$m²+4m）=2．
m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，m=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
當m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時，y=$\frac{4}{3}$m²-$\frac{10}{3}$m-2=-$\frac{11\sqrt{5}}{3}$-$\frac{7}{3}$，即N（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-11\sqrt{5}-7}{3}$），
當m=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時，y=$\frac{4}{3}$m²-$\frac{10}{3}$m-2=$\frac{-35+7\sqrt{5}}{6}$，即N（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-35+7\sqrt{5}}{6}$），
綜上所述：在線段AC下方的拋物線上存在點N，使△ACN與三角形△ABC的面積比為1：2，N的坐標
（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-11\sqrt{5}-7}{3}$），（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-35+7\sqrt{5}}{6}$）；
（3）如圖2，
AB的中點M（1，0），ME₁=ME₂=2．
OE₁=OE₂=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即E₁（0，$\sqrt{3}$），E₂（0，-$\sqrt{3}$）．
設ME₁的解析式為y=kx+b，將M、E₁代入函數(shù)解析式解得，ME₁的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
由FE₁是⊙M的切線，得
FE₁的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
設ME₂的解析式為y=kx+b，將M、E₂代入函數(shù)解析式解得，
ME₂的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
由FE₂是⊙M的切線，得
FE₂的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
綜上所述：直線1的函數(shù)表達式y(tǒng)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用面積的和差得出關于m的方程是解題關鍵；利用切線垂直于過切點的直徑是解題關鍵．