Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且|AB|=3

5

，sin∠OAB=

5

5

．
（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在（1）中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（-2k，0）、點(diǎn)R（5k，0）（k＞1的常數(shù)），設(shè)過Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為S_△QMN，△QNR的面積S_△QNR，求S_△QMN：S_△QNR的值．

Answer 1

分析：（1）欲求過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式，需要先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，過B作BD⊥x軸于D，在Rt△ABD中，通過解直角三角形，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法來求得該拋物線的解析式．
（2）若以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，則此四邊形中，必有一組對(duì)邊平行，且不相等；可分別過O、C、A作AC、OA、OC的平行線，那么所求的P點(diǎn)，必在這些平行線與拋物線的交點(diǎn)中，然后再分別判定所得四邊形的平行邊是否相等即可，若相等，則所得四邊形為平行四邊形，不符合題意，若不相等，則所求四邊形為梯形，那么所作平行線與拋物線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．
（3）此題可首先表示出拋物線的解析式，然后分兩種情況：①拋物線開口向上，②拋物線開口向下；解法一致，首先得到M、N、Q、R的坐標(biāo)，△QNR的面積可直接求出，而△QMN的面積可通過作x軸的垂線，利用割補(bǔ)法來求得；進(jìn)而可得到它們的面積比．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D．在Rt△ABD中，
∵|AB|=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴|BD|=|AB|•sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，得|AD|=

|AB|2-|BD|2

=

(3 5 )2-32

=6
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4．
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）． …3分
設(shè)經(jīng)過O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

?

a= 1 8 b=- 5 4

∴經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

8

x2-

5

4

x．…2分

（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形
①∵點(diǎn)C（4，-3）不是拋物線y=

1

8

x2-

5

4

x的頂點(diǎn)，
∴過點(diǎn)C作直線OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P₁．則直線CP₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-3．
對(duì)于y=

1

8

x2-

5

4

x，
令y=-3則得x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

x2=6 y2=-3

而點(diǎn)C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P1AOC中，CP₁∥OA，顯然|CP₁|≠|(zhì)OA|．
∴點(diǎn)P₁（6，-3）是符合要求的點(diǎn)． …1分
②若AP₂∥CO．
設(shè)直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x．
將點(diǎn)C（4，-3）代入，
得4k₁=-3
∴k1=-

3

4

∴直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x．
于是可設(shè)直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+b1．
將點(diǎn)A（10，0）代入，得-

3

4

x+

15

2

．
∴直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y 1=0

x2=-6 y2=12

而點(diǎn)A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點(diǎn)P₂作P₂E⊥x軸于點(diǎn)E，則|P₂E|=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得|AP2|=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而|CO|=|OB|=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但|AP₂|≠|(zhì)CO|．
∴點(diǎn)P₂（-6，12）是符合要求的點(diǎn)． …1分
③若OP₃∥CA，設(shè)直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b₂將點(diǎn)A（10，0）、C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

∴直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x-5．
∴直線OP₃的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x，由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

x2=14 y2=7

而點(diǎn)O（0，0），
∴P₃（14，7）．過點(diǎn)P₃作P₃E⊥x軸于點(diǎn)E，則|P₃E|=7．
在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得|OP3|=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．而|CA|=|AB|=3

5

．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|(zhì)CA|．
∴點(diǎn)P₃（14，7）是符合要求的點(diǎn)． …1分
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P₁（6，-3）、P₂（-6，12）、P₃（14，7），
使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形． …1分

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，則此拋物線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a(x-

3

2

k)2-

49

4

ak2．
如圖，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（(

3

2

k，0)、N（0，-10ak²）、M(

3

2

k，-

49

4

ak2)，
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=

3

2

k，|QG|=

7

2

k，|ON|=10ak2，|MG|=

49

4

ak2．
∴S△QNR=

1

2

•|QR|•|ON|
=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QMN=

1

2

•|QO|•|ON|+

1

2

（|ON|+|GM|）•|OG|-

1

2

•|QG|•|GM|=

1

2

×2k×10ak2+

1

2

×(10ak2+

49

4

ak2)×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak2
=

1

2

（20+15+3×

49

8

-7×

49

8

）ak³，
∴S△QNM：S△QNR=(

21

4

ak3)：(35ak3)=3：20．…2分
②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，則此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)N，同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．…1分
綜上所知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20． …1分

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線解析式的確定、梯形的判定、三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．