Question

9．操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角形DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合．
問題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=10，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用一副直角三角板的特點(diǎn)得出∠BDC=∠BCD，進(jìn)而得出∠DOC=∠BDC，即可求出答案；
（2）首先作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，再利用直角三角形的性質(zhì)求出BC，BD的長(zhǎng)，即可得出AD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖1所示：∵BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

（2）解：作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，
在Rt△DHF中，∵∠F=60°，DF=10，
∴DH=5$\sqrt{3}$，HF=5，
在Rt△BDF中，∵∠F=60°，DF=10，
∴DB=10$\sqrt{3}$，BF=20，
∴BC=BD=10$\sqrt{3}$，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=5$\sqrt{3}$，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，
∴四邊形AGHD為矩形，
∴AD=GH=BF-BG-HF=20-5$\sqrt{3}$-5=15-5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，正確得出BG=AG的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．