【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,AB=a,C是半圓上一點(diǎn),弦AD平分BAC,DEAB于E,DFAC于F,連接CD,DB,OD.

(1)求證:CDF≌△BDE;

(2)當(dāng)AD= 時(shí),四邊形AODC是菱形;

(3)當(dāng)AD= 時(shí),四邊形AEDF是正方形.

【答案】(1)證明見解析(2)四邊形AODC是菱形(3)ODAB

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì),可得DF與DE的關(guān)系,根據(jù)圓周角定理,可得DC與DB的關(guān)系,根據(jù)HL,可得答案;

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì),可得OD與CD,OD與BD的關(guān)系,根據(jù)正三角形的性質(zhì),可得DBA的度數(shù),根據(jù)三角函數(shù)值,可得答案;

(3)根據(jù)圓周角定理,可得ODAB,根據(jù)勾股定理,可得答案.

試題解析:(1)證明:弦AD平分BAC,DEAB于E,DFAC于F,

DE=DF.

弦AD平分BAC,

∴∠FAD=BAD,

BD=CD.

在RtBED和RtCFD中

RtBEDRtCFD (HL);

(2)四邊形AODC是菱形時(shí),

OD=CD=DB=OB,

∴∠DBA=60°,

AD=ABcosDBA=asin60°=a,

(3)當(dāng)ODAB,即OD與OE重合時(shí),四邊形AEDF是正方形,

由勾股定理,得

AD=,

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