Question

6．如圖，直線AB：y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，直線上一動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度由點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，0）；點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；
（2）求OP的最短距離；
（3）是否存在t的值，使△OAP為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，于是令x=0，y=0，解方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AB的長(zhǎng)，由三角形的面積公式得到OA•OB=AB•OP，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（3）①根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式求得t，②根據(jù)AP=OA，求得t，③根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到t．

解答 解：（1）在y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，得y=$\sqrt{3}$，y=0，得x=$\sqrt{2}$，
∴A的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；
故答案為：（$\sqrt{2}$，0），（0，$\sqrt{3}$）；

（2）當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP的距離最短，
∵OA=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OP，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；

（3）①如圖1，當(dāng)OP=AP，過(guò)P作PC⊥OA于C，
∴AC=0C，
∴PC∥OB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
②當(dāng)AP=OA時(shí)，
即t=$\sqrt{2}$，
③如圖2，當(dāng)OA=OP時(shí)，過(guò)O作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠AOC，
∴△AOC∽△AOB，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AC}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AP=t=2AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$時(shí)，△OAP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．