Question

3．如圖：AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AC，DB的中點(diǎn)．
（1）猜想DC，EF，AB關(guān)系，并證明？
（2）延長EF交BC于點(diǎn)G，①證明G是BC中點(diǎn)；②猜想DC，F(xiàn)G，AB關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）連接CF，延長CF交AB于點(diǎn)H，證得△DFC≌△HFB，得出CF=FH，DC=BH，進(jìn)一步利用三角形的中位線解決問題；
（2）①利用平行線分線段成比例得出答案即可；
②進(jìn)一步利用三角形的中位線定理得出答案即可．

解答 解：（1）EF=$\frac{1}{2}$（AB-CD）；
理由如下：如圖，

連接CF，延長CF交AB于點(diǎn)H，
∵AB∥CD，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)．
∴∠CDF=∠FBH，∠DCF=∠BHF，DF=BF，
在△DFC和△HFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠FBH}\\{∠DCF=∠BHF}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△HFB，
∴CF=HF，CD=BH，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ACH的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$（AB-AH）=$\frac{1}{2}$（AB-CD）；
（2）如圖，

①由（1）可知EF是△ACH的中位線，
EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵DF=FB，
∴BG=GC，
∴G是BC中點(diǎn)；
②FG=$\frac{1}{2}$CD
理由：∵G是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形的中位線定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，作出輔助線，證明三角形全等，利用三角形的中位線解決問題．