Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=12cm，AB=acm，三角形的直角形頂點(diǎn)P在線段BC上，一直角邊與線段AD的交點(diǎn)為Q，另一直角邊與線段AB的交點(diǎn)為E，點(diǎn)P從C開始向B以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從D開始以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，假設(shè)P、Q兩點(diǎn)開始運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)t=1，a=

15

時(shí)，PQ的長是多少？
（2）當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動多長時(shí)間點(diǎn)E與A重合？
（3）當(dāng)a=5時(shí)，①設(shè)BE的長為y cm，試求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．②是否存在某個(gè)時(shí)刻，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合？若存在，求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動時(shí)間；若不存在，請求出AE的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，利用勾股定理求出PQ的長即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，得出△BAP∽△HPQ，進(jìn)而利用比例式求出即可；
（3）首先得出△BEP∽△HPQ，進(jìn)而得出y與x的關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，
則PH=PC-HC=t=1，
PQ=

QH2+PH2

=

( 15 )2+12

=4；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵∠EPB+∠QPH=90°，∠EPB+∠BEH=90°，
∴∠QPH=∠BEP，
又∵∠B+∠QHP=90°
∴△BAP∽△HPQ
∴

BA

HP

=

BP

HQ

，
∴

4

t

=

12-2t

4

，
解得：t=2或4，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動2秒或4秒時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合．

（3）①由（2）知△BEP∽△HPQ
∴

BE

HP

=

BP

HQ

，
∴

y

t

=

12-2t

5

，
∴y=-

2

5

t2+

12

5

t，
②假設(shè)存在點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則y=5，
∴-

2

5

t2+

12

5

t=5 
∴2t²-12t+25=0，
∴△＜0，此方程無解．
∴不存在點(diǎn)E與點(diǎn)A重合
AE=AB-BE=5+

2

5

t2-

12

5

t=

2

5

（t²-6t+9）=

2

5

（y-3）²+

7

5

∴當(dāng)t=3時(shí)，AE最小=

7

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求法和四邊形綜合等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．