Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)Q沿折線ADC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，求證：PQ=CP；
（2）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，等式“PQ=CP”仍成立嗎？試說明其理由；
（3）設(shè)△CPQ的面積為S，那么S與t之間的函數(shù)關(guān)系如何？并問S的值能否大于正方形ABCD面積的一半？為什么？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，P恰好是AB的中點(diǎn)，求證△CBP≌△DAP后可得PQ=CP．
（2）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，過Q點(diǎn)作QE⊥AB于E，求出AE=QD=2t-4，AP=t，PE=t-（2t-4），PB=4-t，求證△CBP≌△DEP，推出PC=PQ仍然成立
（3）本題分兩種情況解答：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ化簡可得S關(guān)于t的二次函數(shù)式．當(dāng)2＜t≤4時(shí)，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）作PF⊥CQ求出S關(guān)于t的二次函數(shù)式，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對兩種情況進(jìn)行判斷．

解答：（1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，（如圖1），Q與D重合，P恰好是AB的中點(diǎn)，△CBP≌△DAP，
則PQ=CP；

（2）解：當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2）Q在CD上，
過Q作QE⊥AB于E，AE=QD=2t-4，AP=t．
PE=t-（2t-4）=4-t．
PB=4-t，PB=PE，BC=EQ
∴△CBP≌△QEP，
∴PC=PQ仍然成立


（3）解：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，（如圖3），S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ=16-

1

2

×4(4-t)-

1

2

t•2t-

1

2

×4(4-2t)，
S=-t²+6t，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）=8-2t．
過P作PF⊥CQ，則PF=4．S=

1

2

×4（8-2t）=-4t+16
又∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9開口向下對稱軸為t=3，
∴0≤t≤2時(shí)，S隨t增大而增大，
當(dāng)t=2時(shí)，S取得最大值為8．
又∵S=-4t+16，t=

16-s

4

∵2＜t≤4
∴2＜

16-s

4

≤4
即8＞s≥0，
∴S的值不可能超過正方形面積的一半8．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，難度偏大．