Question

如圖所示，在△ABC中，DC上AC交AB于點(diǎn)D，若S_△ACD：S_△CDB=2：3，cos∠DCB=，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

解：作DE⊥DC，交CB于點(diǎn)E，如圖所示，
∵AC⊥CD，
∴DE∥AC，
在Rt△CDE中，cos∠DCB==，
設(shè)CD=4x，CE=5x，則DE=3x，
∵S_△ACD：S_△CDB=2：3，△ACD與△CDB中AD、DB邊上的高相等，
∴AD：DB=2：3，
∴DB：AB=3：5，
∵DE∥AC，
∴==，
∵DE=3x，
∴AC=5x，
在Rt△ACD中，tanA===，
則∠A≈38°40′．
分析：過(guò)D作DE垂直DC，交BC于點(diǎn)E，如圖所示，由AC與CD垂直，得到DE與AC平行，在直角三角形CDE中，由cos∠DCB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與CE的比值，設(shè)出CD=4x，CE=5x，利用勾股定理得到DE=3x，再由三角形ACD與三角形CDB面積之比，根據(jù)AD、DB邊上的高相等得到AD與DB的比值，進(jìn)而確定出DB與AB之比，由DE與AC平行，利用平行得相似，求出DE與AC之比，表示出AC，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tanA的值，查表即可求出∠A的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形題型，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．