Question

19．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=-x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=ax²-6ax過線O、A交直線AB于點C，且C點的縱坐標比橫坐標大4．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，動點D在線段OB上，點E在線段AB上，DE∥x，點F在線段DC的延長線上，EF∥y軸，交x軸于點G，當點F恰好落在拋物線上時，求點D、F的坐標；
（3）在（2）的條件下，點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，PH⊥CD于點H，若tan$∠FPH=\frac{3}{4}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先由點C的坐標特點，求出點C坐標，點C坐標代入拋物線解析式中求出a，
（2）設出點D坐標，表示出CD解析式，表示出點E，F(xiàn)坐標，把點F的坐標代入拋物線解析式中，即可；
（3）先判斷出△FKD≌△DOA，得出AD=DF，再求出∠ADF，得到三角形ADF是等腰直角三角形，再由垂直平分線判斷出AQ=OQ，進而判斷出PN=$\frac{2}{3}$MN，設出點P坐標，確定出PH解析式，利用PN=$\frac{2}{3}$MN，建立方程求解即可．

解答 解：設C（x，-x+6），
∵C點的縱坐標比橫坐標大4，
∴x+4=-x+6，
∴x=1，
∴C（1，5），
∵點C在拋物線y=ax²-6ax上，
∴a-6a=5，
∴a=-1，
（2）設D（0．m）
∵C（1，5），
∴直線CD解析式為y=（5-m）x+m，
∵DE∥x軸，
∴E的縱坐標為m，
∵點E在y=-x+6上，
∴E（6-m，m）
∴點F的橫坐標為6-m，
∵點F在直線CD解析式為y=（5-m）x+m上，
∴F（6-m，m²-10m+30），
由（1）得，拋物線解析式為y=-x²+6x，
∴m²-10m+30=-（6-m）²+6（6-m），
∴m=5（舍）或m=3，
∴D（0，3），F(xiàn)（3，9），
（3）如圖，

過點F作FK⊥y軸，連接AD，AF，AF交PH于N，PH交PG于M，過點P作PL⊥y軸交AF于L，
∵F（3，9），D（0，3），A（6，0），
∴FK=OD=3，DK=OA=6，
∵∠FKD=∠DOA=90°，
∴△FKD≌△DOA，
∴∠DFK=∠ADO，AD=DF，
∵∠DFK+∠KDF=90°，
∴∠ADO+∠HDF=90°，
∴∠ADF=180°-90°=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵PH⊥CD，
∴PH∥AD，
∴∠AFD=45°，
設AD交FG于Q，
∵G（3，0），A（6，0），
∴OG=AG，
∵FG∥y軸，
∴AQ=OQ，
∵PH∥AD，
∴$\frac{HM}{DQ}=\frac{FM}{FQ}=\frac{MN}{AQ}$，
∴HM=MN，
∵∠AFD=45°，
∴CF=HN，
∵tan∠FPH=$\frac{HF}{HP}=\frac{3}{4}$，
∴PN=$\frac{2}{3}$MN，
∵PL∥FH，
∴$\frac{PL}{PM}=\frac{PN}{MN}=\frac{2}{3}$，
∵F（3，9），A（6，0），D（0，3），
∴直線AD解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
直線AF解析式為y=-3x+18，
設P（t，-t²+6t），
∴直線PH解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-t²+$\frac{13}{2}$t，
∴M（3，-t²+$\frac{13}{2}$t-$\frac{3}{2}$），
∴FM=9-（-t²+$\frac{13}{2}$t-$\frac{3}{2}$）=t²-$\frac{13}{2}$t+$\frac{21}{2}$，
∵PL=-t²+9t-18，
∴3（-t²+9t-18）=2（t²-$\frac{13}{2}$t+$\frac{21}{2}$），
∴t=3（舍）或t=5，
∴P（5，5）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解本題的關鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（如：直線CD解析式為y=（5-m）x+m，直線AD解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，直線AF解析式為y=-3x+18），用方程的思想解決問題是本題的難點．