Question

正方形四邊條邊都相等，四個角都是90°．如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，點E是直線MN上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）如圖1，當(dāng)點E在線段BC上（不與點B、C重合）時：
①判斷△ADG與△ABE是否全等，并說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，觀察并猜測線段BE與線段CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點E在射線CN上（不與點C重合）時：
①判斷△ADG與△ABE是否全等，不需說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，已知GD=4，求△CFH的面積．

Answer 1

分析：（1）①利用正方形的性質(zhì)及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；
②利用正方形的性質(zhì)及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）①利用HL定理證明△BAE≌△DAG即可；
②利用△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，即可得出GD=FH=CH=4，再利用△CFH的面積公式求出．

解答：解：（1）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG．
∴△BAE≌△DAG；

②CH=BE．理由如下：
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，
∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，
∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，
∴EH=AD=BC，
∴CH=BE．

（2）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAE與Rt△DAG中，
∴△BAE≌△DAG；（HL）

②由（1）同理可得：△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，
∴GD=FH=CH=4，
∴△CFH的面積為：

1

2

FH•CH=

1

2

×4×4=8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識點的綜合運用，其重點是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例，綜合性較強，有一定的難度．