Question

操作、推理與運算
如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過格點A、B、C．
（1）請完成如下操作：①建立平面直角坐標系，使得B點坐標為（4，4）；
②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連結AD、CD．
（2）請在（1）的基礎上，完成下列問題：
①寫出點的坐標：C______、D______；
②求⊙D的半徑（結果保留根號）；
③若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面的面積（結果保留π）
④若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關系，并說明你的理由．

Answer 1

解：（1）①如圖1所示；

②如圖2所示；

（2）①由圖可知，C（6，2），D（2，0）．
故答案為：（6，2），（2，0）；

②∵在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
∴AD==2，即⊙D的半徑為2；

③在Rt△AOD與Rt△DFC中，
∵，
∴Rt△AOD≌Rt△DFC，
∴∠OAD=∠FDC，∠ADO=∠DCF，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠FDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴=π•AD=π×2=π，
設該圓錐的底面的半徑為r，則π=2πr，即r=，
∴圓錐的底面的面積S=π×（）²=；

④在△DCE中，
∵CD²=4²+2²=20，CE²=2²+1²=5，DE²=5²=25，
∴CD²+CE²=DE²，
∴△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，
∴直線CE與⊙D相切．
分析：（1）①根據題意建立平面直角坐標系即可；
②連接BC，作弦AB、BC的垂直平分線相交于點D，則點D即為圓弧所在圓的圓心；
（2）①根據點C、D所在的位置得出C、D兩點的坐標即可；
②利用勾股定理求出⊙D的半徑；
③先求出∠AOC的度數，再設該圓錐的底面半徑為r，根據弧長公式求出r的值，進而求出其底面的面積；
④根據勾股定理的逆定理判斷出△DCE的形狀即可．
點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質、圓錐的側面展開圖、勾股定理的逆定理等相關知識，難度適中．