Question

2．如圖，已知正方形ABCD，E為BC延長線上一點(diǎn)，連AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD于G連AG，作FH⊥AG于H，連DH．下列說法正確的是（　�。�
①GE+GD=BE；②DG=DF；③AC-2HD=$\sqrt{2}$DF；④當(dāng)CE=BC=2時(shí)，F(xiàn)G=$\frac{5}{3}$．

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①③④正確，②錯(cuò)誤，作AM⊥EG于M，在AD上截取一點(diǎn)N使得AN=DF，由△AEB≌△AEM得AM=AB，推出△AGM≌△AGD得GD=GM由此可以判斷①正確，由△HAN≌△HFD得HN=DH，AD-DF=$\sqrt{2}$HD，由此可以判斷③正確，CE=BC=2時(shí)，設(shè)MG=GD=x，則CG=2+x，GE=4-x，在RT△ECG中利用勾股定理即可求出x，可以判斷④正確，②錯(cuò)誤可以用反證法推出矛盾即可．

解答 解：作AM⊥EG于M，在AD上截取一點(diǎn)N使得AN=DF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠ADC=∠BAC=90°，
在△AEB和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠B=90°}\\{∠AEM=∠AEB}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEM，
∴AM=AB=AD，BE=EM，
在RT△AGM和RT△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AM=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△AGD，
∴GD=MG，∠MAG=∠DAG，
∴EM=EG+MG=EG+DG，故①正確，
∵∠AEB=∠AEM=∠EAD，∠MAE+∠AEM=90°，
∴2∠GAD+2∠DAE=90°，
∴∠GAD+∠DAF=45°，
∴∠HAF=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠AHF=90°，
∴∠HAF=∠HFA=45°，
∴HA=HF，
∵∠AHF=∠ADF=90°，
∴A、F、D、H四點(diǎn)共圓，
∴∠HAN=∠HFD，∠HDI=∠HFA=45°=∠HDG
在△HAN和△HFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=HF}\\{∠HAN=∠HFD}\\{AN=DF}\end{array}\right.$，
∴△HAN≌△HFD，
∴HN=HD，∠ANH=∠HDF=135°，
∴∠HND=∠HDN=45°，
∴DN=$\sqrt{2}$HD，
∴AD-AN=DN，
∴AD-DF=$\sqrt{2}$HD，
∴$\sqrt{2}$AD-$\sqrt{2}$DF=2HD，
∴AC-$\sqrt{2}$DF=2HD，
∴AC-2HD=$\sqrt{2}$DF，故③正確，
CE=BC=2時(shí)，設(shè)MG=GD=x，則CG=2+x，GE=4-x，
在RT△ECG中，∵EG²=GC²+CE²，
∴（4-x）²=2²+（2+x）²，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴GF=DF+DG=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$．故④正確．
②錯(cuò)誤．若DG=DF，則AG=AF，∠DAG=∠DAF=22.5°，這個(gè)顯然不可能，故②錯(cuò)誤．
∴①③④正確，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考�？碱}型．