Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=10，點(diǎn)P是半圓周上一點(diǎn)，連接AP、BP，并延長(zhǎng)BP至點(diǎn)C，使CP=BP，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，點(diǎn)E為垂足，CE交AP于點(diǎn)F，連接OF．
（1）當(dāng)∠BAP=30°時(shí)，求的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)CE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E隨之運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、O之間時(shí)，以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△BAP相似，請(qǐng)求出此時(shí)AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，利用圓周角定理可得出∠BOP=2∠BAP，然后代入弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)度．
（2）連接AC，則可判斷AP是線段BC的垂直平分線，在Rt△ACE中，求出AE，從而得出BE，再由Rt△AEF∽R(shí)t△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出EF的長(zhǎng)度．
（3）若以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△BAP相似，則有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，然后分別求出AE的長(zhǎng)度即可．
解答：解：（1）連接OP，

∵AB=10，
∴OB=5，
又∵∠BAP=30°，
∴∠BOP=60°，
∴=．
（2）連接AC，

∵AB是半圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
又∵CP=BP，
∴AP是線段BC的垂直平分線，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACE中，，
∴BE=4，
又∵Rt△AEF∽R(shí)t△CEB，
∴，，
∴EF=3．
（3）若以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△BAP相似，則有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，
①當(dāng)∠EOF=∠PAB時(shí)，此時(shí)△AOF為等腰三角形，點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，即AE=；
②當(dāng)∠EOF=∠ABP時(shí)，OF∥BP，
此時(shí)OE=5-AE，BE=10-AE，
∵Rt△EOF∽R(shí)t△EBC，
∴，，
∴AE=．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，注意分類討論，不要漏解，難度較大．