Question

17．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連結(jié)DE，若DE：AC=3：5，四邊形ABCD的面積為32，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CE=BC，∠BAC=∠CAE，再求出AD=CE，設(shè)AE、CD相交于點(diǎn)F，然后利用“角角邊”證明△ADF和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=DF，然后求出AC∥DE，判斷出△ACF和△DEF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)EF=3k，CF=5k，利用勾股定理列式求出CE，再求出CD，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出AD、AB，然后代入矩形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：∵矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，
∴CE=BC，∠BAC=∠CAE，
∵矩形對(duì)邊AD=BC，
∴AD=CE，
設(shè)AE、CD相交于點(diǎn)F，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CEF=90°}\\{∠AFD=∠CFE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴EF=DF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACF，
又∵∠BAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAE，
∴AF=CF，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△DEF，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{ED}{AC}=\frac{3}{5}$，
設(shè)EF=3k，CF=5k，
由勾股定理得CE=$\sqrt{（5k）^{2}-（3k）^{2}}$=4k，
∴AD=BC=CE=4k，
又∵CD=DF+CF=3k+5k=8k，
∴AB=CD=8k，
∵四邊形ABCD面積=32，
∴4k•8k=32，
∴k²=1，
∵k＞0，
∴k=1，
∴AD=4，AB=8，
∴四邊形ABCD周長(zhǎng)=2（4+8）=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合題難度較大，求出△ACF和△DEF相似是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．